L’Émetteur commode !

2N2222 …
Ahhhh, me diront certains !
Mais que fait ce minuscule morceau de silicium, encapsulé en boîtier TO-18, dans mes archives ?
Que fait ce vestige de l’âge d’or de l’électronique ; ce témoin d’un matériel manipulable à la main, sans brucelles, dormant dans des casiers étiquetés ?

Eh bien, comment dire…
Il me fallait un senior pour replonger dans l’océan abstrait de l’électronique analogique !
J’aurais pu prendre le vénérable BC107 qui aspire à la même nostalgie que notre protagoniste, ou une version plus moderne comme le BC447…
J’ai bassement succombé à ma zone de confort : utiliser un composant scolaire, passe-partout et encore ancré dans la mémoire de beaucoup d’hobbyistes grisonnants.

Quels sont donc mes projets pour ce petit transistor hors du temps ?

…Rassurez-vous ; pas de destruction ou de four à micro-ondes ; pas de projectile ou je ne sais quelle solution à potentiel hydrogène dangereusement bas.
Juste le désir d’étudier et d’analyser le sujet « in-situ » dans un montage de base.
Vous-êtes témoins de mes bonnes intentions !

Le petit exercice que nous allons mener ensemble n’a pas l’ambition folle de déboucher sur un produit fini.
J’ajouterai aussi : pas d’oscilloscope, pas de plaque d’essai, pas de générateur basse fréquence !

Mais, qu’allons nous faire, mon bon monsieur ?

Oh, eh bien, les choses pétillantes que sont de concevoir un circuit analogique pour le faire vivre dans un simulateur avant de l’incarner sur l’époxy.

La carte du menu semble bien maigre dans ce contexte pimpant ?

… Eh bien non car le simulateur de circuit analogique justifierait à lui seul un article complet. Il nous permet d’avoir tout le minimum vital d’un laboratoire d’essais : GBF, oscilloscope multivoies, acquisition de données, alimentations sur mesure et j’en passe.
… C’est dit !

Alors, ne partez pas : vous allez voir la puissance de l’outil informatique pour analyser et comprendre un circuit analogique simple, scolaire, mais bourré de subtilités.

Nous allons étudier notre protagoniste dans un petit amplificateur de classe A en montage dit « émetteur commun ».
Le support de l’étude se fera sur le logiciel Micro-Cap 12 de Spectrum Software®.
Nous ne toucherons pas un seul appareil de mesure ou une plaque d’essai pour disséquer tout ce petit monde : l’idée est de discerner l’intérêt d’un tel logiciel en comparant l’homme, la machine et, peut-être dans un autre billet, la réalité du laboratoire.

Ce petit schéma va sûrement rappeler des souvenirs léthargiques à certains de par l’ambition peu élogieuse qu’il suscite : amplifier un signal en tension pour le rendre exploitable !
Les schémas « scolaires » ne vendent pas du rêve, je le conçois ; mais gardons qu’ils cachent toujours, sous leurs faux airs de jouets en kit, toutes les subtilités de nos ancêtres au silicium.
Ces subtilités font ce charme, si particulier, du monde analogique qui orchestrait bien avant la vague du numérique froid et discret (… Les amoureux de la logique tout transistor TTL comprendront à juste terme le mot « discret »).

Pourquoi étudier un émetteur commun ?

Dans les grandes lignes, ce type d’amplificateur offre une impédance d’entrée modérée et une impédance de sortie relativement élevée.
Il offre, aussi, une linéarité honorable grâce à cette résistance « magique » d’émetteur, $R_E$ .
Nous verrons que celle-ci vient damer le pion sur la résistance dynamique propre à notre bipolaire, appelée communément $r_e$ (…$r_d$ dans certaines études) ou encore $r_\pi$ vu de la base.
J’attaque dur ?
Les vétérans sauront que je parle de dégénérescence d’émetteur ! … Et, j’espère que ces messieurs ne m’en voudront pas de fuir (quoi que…) un sujet aussi subtil qu’est la transconductance de notre protagoniste à trois pattes.

La caractéristique immuable de tout semi-conducteur qui se respecte est la loi exponentielle de jonction.
Cette loi dicte les courants traversant ces morceaux de silicium dopés !
Dans le cas de la diode à jonction PN, elle peut s’écrire de la sorte :

Les puristes noteront qu’il s’agit de la loi de Shockley.
Les plus pragmatiques l’appelleront la loi de la diode : une désignation couramment utilisée dans le milieu scolaire.
Je ne partirai pas dans le pèlerinage de l’histoire du transistor malgré la tentation viscérale de ma curiosité ! Je résiste, croyez-moi…
Gardez juste que William Shockley est l’un des pères de l’effet transistor : il fut lauréat du prix Nobel de physique en 1956, pour cette invention, qui ouvrira la mer Rouge du numérique à l’humanité (… J’en vois me parler de noyade, de suicide, peut-être à raison !).

Nous pouvons, très brièvement, parler des paramètres $V_T$ et $I_S$.
Pas de voyage temporel dans l’histoire de la physique quantique en vue, juste quelques notions de base à appréhender…

La tension thermique $V_T$ caractérise l’agitation thermique (!) des porteurs et donc leur aptitude à « passer » la zone de déplétion de la jonction sous l’influence d’un potentiel ($V_D$).
Elle fait intervenir la constante de Boltzmann, ainsi que la température locale sous la forme :

Avec :

• k : Constante de Boltzmann ~ 1,380 649 × 10⁻²³ J K⁻¹
• T : Température
• q : Charge élémentaire ~ 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C

Pour 25 °C :

Nous garderons précieusement cette valeur empirique de tension thermique pour nos futurs calculs !
Notez que dès que l’on s’approche du microcosme quantique, deux noms ressortent fatalement : Boltzmann et Planck.
À croire que ces messieurs ont créé notre univers !

L’apparition de la constante $k$, de notre nobélisé, n’est pas anodine.
Elle nous rappelle qu’à l’échelle microscopique, le comportement de nos porteurs ne se pense pas comme une partie de billard parfaitement exécutée ! (Une bonne partie de Efrén Reyes… LE référent)
Nos timides vagabonds ont une répartition statistique orchestrée par une loi fondamentale de la thermodynamique (… qui a le vent en poupe, soit dit en passant): l’entropie !
La tension thermique​ $V_T$ est justement l’une des traces les plus simples et les plus précieuses de ce concept.

Pour ce qui est du courant de saturation $I_S$ de notre jonction PN, on pourrait l’imaginer comme un mouvement « militaire » cyclique d’espions au courage démesuré (!).
Ces héros viendraient, discrètement, accomplir leur besogne en camp adverse, après avoir fait l’impossible : traverser un no man’s land impraticable !
Ils se relayeraient tour à tour, dans cette tâche ingrate, d’opérer chez l’ennemi, en ligne de front.
Leur évolution est, si l’on peut dire, ce « courant de saturation » et leur motivation n’est juste qu’une folie thermique (… pour ceux qui suivent).
Je vois d’ici les doctorants en physique quantique baisser la tête : ces messieurs s’offusqueront surement, sur cette comparaison douteuse que sont des hommes courageux à des porteurs de charges minoritaires…

Nous pouvons voir ce courant de saturation $I_S$ ou, plus précisément, le courant inverse de saturation comme le « suintement » de ces porteurs de charges en bordure de déplétion.
Sa valeur est infime mais fluctue énormément avec la température (…de l’ordre du double tous les 10 °C).

L’image de ces porteurs d’espoir (… plutôt que de charge) traversant cette zone de front (… de déplétion) n’est pas forcément la meilleure : votre hôte souhaitait sortir le grand jeu pour découdre un phénomène si abstrait qu’est un courant probabiliste !
N’est-ce pas l’intérêt de l’imaginaire d’élever un monticule de sable en montagne ?

Pour les plus pragmatiques, vous pouvez voir ce courant de saturation comme une faible dislocation électronique.

Et… Pour revenir sur terre avant de nous perdre à jamais, la valeur approchée de $I_S$ est la suivante à 25 °C :

Nous allons pouvoir transfigurer ces quelques notions fondamentales de la jonction PN à l’étude plus complète de notre transistor favori.
Notez, quand même, que l’on a souvent évoqué le terme de température dans les quelques lignes précédentes : nous ne traiterons pas le sujet de l’emballement thermique dans notre modeste montage, pour ne pas partir dans des sphères académiques !
Gardons juste à l’esprit que c’est un point à surveiller en cas de montages à paire complémentaire NPN/PNP (push-pull pour ceux qui ont de l’avance…).

Ne traînons pas des pieds : le calcul doit être le pied à l’étrier pour le simulateur !

La loi de la diode, que nous avons évoquée précédemment, s’impose naturellement dans le transistor et, spécifiquement, dans la jonction PN « Base/Émetteur ».
Elle est la suivante :

On remarquera, instinctivement, l’absence du terme « $-1$ » présent dans l’équation complète de Shockley !
Pour être clair, ce terme existe bel et bien dans tous travaux sur les jonctions PN(s).
Pourquoi le négliger, me diront certains, à juste titre ?

… Il ne faut pas que je digresse mais cette subtilité est importante !
Pour faire simple, l’exponentielle de base naturelle nous dit ceci :

Ce petit rappel élémentaire nous permet de mettre en lumière un problème délicat : sans le terme magique subsidiaire $-1$, notre jonction PN se verrait le luxe d’offrir un courant « gratuit » hors polarisation.
Mesdames, messieurs, arrêtons la fission atomique, source de bien des controverses, et créons des champs de semi-conducteurs à perte de vue …
De l’énergie gratuite sous nos yeux …

Oui, mais encore ? Un courant sans potentiel ! Vous sentez l’anguille sous le dolmen (la roche n’existe pas en Armorique …) ?

Nous pouvons poser un simple cas d’école pour finir sur la loi de la diode.
Prenons le cas d’un composant non polarisé avec, $V_D=0\,\text{V}$ :

Calcul simplifié :

Calcul complet :

Nous remarquerons aisément que le calcul complet est bien plus juste, dans notre cas évoqué précédemment : au repos, la diode ne voit pas de circulation de courant (!).
Nous noterons aussi que, dans le cas d’une polarisation en inverse, il y a un micro-courant qui subsiste : il s’agit de notre fameux courant de saturation inverse …

On progresse, on progresse, mais il y a (encore) une subtilité que nous nous devons d’évoquer pour parfaire nos calculs !

Le transistor bipolaire peut être vu comme un amplificateur de courant.
Les courants présents dans notre composant se formalisent de la sorte :

$\beta$ est le gain de notre transistor.
Celui-ci est souvent établi à « 100 » pour approcher les calculs sacrés de la polarisation.
Nous allons voir que, dans la réalité, il peut varier sensiblement en fonction de $V_{CE}$ , mais aussi en fonction de l’échantillon choisi (fabricant, technologie de production …).
Ce gain pourrait presque justifier un billet à part entière !
Sa valeur est faiblement documentée, dans des échelles plutôt larges, avec comme conséquence l’utilisation aveugle de valeurs empiriques …
À l’aveugle donc ?
Pas forcément …
Nous verrons qu’en investiguant de poussiéreux datasheets, l’information peut ressortir au milieu d’une timide courbe innocente !

Nous pouvons nous attarder sur le réseau de caractéristiques du 2N2222 établi sur banc d’essai :

Ce réseau nous permet de voir, concrètement, la corrélation entre $I_C$ et $V_{CE}$ avec un courant de base donné.
La dérivation de notre courant de collecteur (… pente) est due à un phénomène physique couramment appelé effet Early.

Ce phénomène serait difficilement explicable en quelques lignes, mais tentons une approche simplifiée !

L’idée est de voir la base du transistor comme une zone dynamique, qui va voir son épaisseur effective diminuée en présence d’un potentiel électrostatique de collecteur élevé.
Avec un fort $V_{CE}$​, la zone de déplétion collecteur-base s’étend davantage dans la base : celle-ci se fait empiéter par une déplétion devenue obèse. Notre base devient plus mince, ce qui a pour effet de réduire les recombinaisons des porteurs libres.
Les électrons injectés depuis l’émetteur ont, alors, plus de probabilité d’atteindre le collecteur, ce qui explique l’augmentation de notre $I_C$.

Le collecteur agit ainsi comme un potentiel “aspirant”, dont l’influence grandit avec $V_{CE}$​.
Hum … Je vais en perdre quelques-uns, là, dans les tréfonds de la physique si abstraite des semi-conducteurs.
Mais, pour positiver, nous noterons l’effort des physiciens à nommer les choses comme il se doit : le collecteur « collecte » (!) les électrons ; c’est un aspirateur à charges libres qui ne demande qu’à faire le ménage !

Plus sérieusement, le prolongement des courbes vers les tensions négatives fait apparaître un point de convergence commun, appelé tension d’Early souvent notée $V_A$​.
Cette grandeur caractérise la dépendance du courant collecteur à $V_{CE}$​ : plus ​$V_A$ est élevé, plus le transistor se rapproche d’une source de courant idéale.

Pour notre 2N2222, $V_A$ est estimé à 74 V.

Nous allons donc formaliser toute la physique du transistor bipolaire en une équation (… voyons donc !), qui tient compte de l’effet Early :

Avec :

Pour chapeauter l’approche théorique de notre protagoniste, j’ai jugé bon d’établir un schéma équivalent qui laisserait entrevoir la résistance de sortie ($r_o$), liée à $V_A$ :

Il en découle :

…
Eh bien !
Avec tout ce bagage théorique, nous allons pouvoir jeter notre émetteur commun dans la fosse des mathématiques (!).

Notre montage retenu sera une version à émetteur commun SANS capacité de découplage de résistance d’émetteur $R_E$ !
L’artillerie déployée, pour la polarisation de notre transistor, offrira tous les prérequis attendus d’un amplificateur de classe A :

• Gain en tension significatif
• Point de repos adéquat pour le swing maximal
• Bonne linéarité
• Couplage adapté à la bande passante

Pour rappel, l’essence même de notre composant à jonctions est d’amplifier tout courant s’aventurant en base.
Notre pont de sortie ($R_C$ ~ $R_E$) officie à plusieurs tâches indissociables : il doit fixer le potentiel de repos en collecteur ainsi que l’amplitude de sortie (swing) de notre montage.

Notre gain en tension, après dimensionnement, s’exprimera de la sorte :

Les plus assidus auront remarqués que notre rapport $R_C$~ $R_E$ est la fenêtre de sortie de notre classe A sur son couplage capacitif !
Ce pont met en forme notre signal pour son futur périple analogique …
Mais, n’omettons pas l’inversion (…la négation) de notre gain en tension qui est propre au montage à émetteur commun : le signal de sortie amplifié est déphasé de $\pi$.

Pourquoi parle-t-on d’amplificateur de classe A ?

Vous avez la réponse à travers la notion de point de repos !
Ce type de montage est consommateur de courant à signal d’entrée nul.
Dans une époque d’efficience énergétique omniprésente, ce type de solution peut être vu d’un mauvais œil.
Mais … La linéarité, la pureté, n’a pas le prix de quelques milliampères, me diront certains amateurs audiophiles, donc passons !

Revenons sur un point crucial de ce montage qui est l’absence de découplage de notre résistance d’émetteur $R_E$ (…qui s’incarne dans $C_E$ sur le montage en tête de l’article).
Le but de cette capacité, quand elle est adjointe au montage, est d’offrir un gain dynamique en fréquence !
Celui-ci serait, dans ce cas précis :

J’ai choisi, volontairement, de ne pas découpler $R_E$, pour garder une linéarité exemplaire sur toute la bande passante souhaitée.

Le concept de dégénérescence d’émetteur s’est glissé discrètement dans ma rhétorique d’ouverture.
J’ai sous-entendu que je ne traiterai pas ce sujet pour ne pas faire une énième copie indigeste sur le roi des semi-conducteurs.

…
Mais … Puisque l’on touche au gain du montage … Puisque j’affiche lourdement mon obsession à la linéarité, je me dois de parler de la résistance dynamique d’émetteur et de ses consœurs.
Ces phénomènes sont clairement indissociables à la compréhension de l’instabilité de notre héros !

La subtilité du transistor, et en grande partie sa complexité, tient à son facteur de forme trompeur : bien que ce monsieur se présente comme un tripôle innocent, son comportement en petit signal trahit un quadripôle, dont les deux ports partagent l’émetteur comme référence commune.

Je me suis risqué à faire un schéma qui se veut illustrer ces résistances dynamiques sous son facteur de forme original.
C’est un exercice plus « conceptuel » que réaliste sans passer par un véritable modèle Hybride π plus classique.
Vous noterez mes réserves avec des pointillés pour essayer de faire cohabiter, tant bien que mal, deux mondes distincts !

Ce schéma nous permet d’entrevoir les deux résistances dynamiques principales du bipolaire : $r_e$ et $r_o$.

Pour le cas de $r_\pi$, cette résistance n’est autre que $r_e$ mais approchée du point de vue de la base.

Je ne vais pas revenir sur $r_o$ car nous l’avons traité précédemment.

Pour $r_e$ et $r_\pi$, nous pouvons poser :

…
Voyez-vous la « fragilité » de notre $r_e$ ?
Notre résistance dynamique $r_e$​ décrit la dominance de l’agitation thermique sur le flux de porteurs :
Lorsque notre courant d’émetteur est faible, le flux utile est noyé dans l’agitation, ce qui implique une résistance élevée.
Lorsque ce même courant est élevé, le flux devient prépondérant, limitant ainsi notre résistance apparente.
Toute variation de température influe directement notre résistance dynamique et, donc, notre courant d’émetteur !

Dans le cas où notre transistor serait polarisé sans résistance d’émetteur, notre gain en tension serait le suivant :

… Vous aurez bien compris qu’un tel gain ne pourra être stable en conditions réelles.

Le même gain avec notre « sauveuse » d’émetteur serait :

Nous pouvons poser quelques valeurs de $r_e$ pour deviner les variations de notre gain :

• Pour $I_E = 1\,\text{A}$, on a : $r_e​ \approx{\frac{0,026}{1}}​​ = 0,026\,\Omega$
• Pour $I_E = 10\,\text{mA}$, on a : $r_e​ \approx{\frac{0,026}{0,01}}​​ = 2,6\,\Omega$

Il est évident que sans résistance d’émetteur, le gain $A_v$ devient sensible au moindre soubresaut thermique ou à la moindre variation de courant.
Un tel type de polarisation (… sans $R_E$) est donc, nous l’aurons compris, à proscrire en amplification !
Ce type de montage est toléré pour un montage en commutation où notre transistor fonctionnera « saturé »…

Pour un montage à courant de collecteur modéré ($I_C\ll20\,\text{mA}$), on remarquera aisément le contraste entre $R_E$ et $r_e$ après avoir dimensionné notre pont de sortie.
On peut, alors, poser :

…
Voilà.
J’espère ne pas avoir perdu les quelques curieux qui se sont courageusement aventurés jusqu’ici.
Ce rabâchage scolaire va nous être bien utile pour la suite, croyez-moi !

Mais … Qu’allons-nous amplifier avec notre petit montage ?
Allons-nous remuer un auditorium, sous les bourrasques de la cinquième symphonie de Beethoven ?
Allons-nous virevolter, dans une nuit d’été, sous les nocturnes de Chopin ?
Eh bien … Peut-être dans un épisode des sœurs 6L6 ~ 12AX7, si le cœur m’en dit de replonger dans le monde des lampes de puissance ! …

Pour l’instant, notre amplificateur verra passer du son et sera assujetti à le mettre en forme, comme il se doit, pour ses futurs confrères (…dans un étage de push-pull par exemple).

Le signal analogique d’entrée retenu sera un signal électrique, modulé en amplitude, dit de niveau ligne professionnel.
Cela sous-entend que ce signal d’entrée aura une amplitude de $1,095 \,\text{V}$, soit $2,190 \,\text{V}_{p-p}$ (crête à crête).

La bande passante de tout amplificateur audio qui se respecte est, bien évidemment, le $20 \sim 20000 \, \text{H}_z$.

Pour l’alimentation du montage, nous partirons sur un rail de $12\,\text{V}$, sans point milieu, pour simplifier l’étude.

Enfin, pour le courant de « repos » au collecteur, nous nous arrêterons sur une valeur de $I_C = 10 \, \text{mA}$.
C’est une valeur acceptable pour limiter l’effet Early et favoriser la stabilité thermique du système.

Notons que l’impédance d’entrée d’un tel montage devrait s’approcher de $10 \, \text{K\Omega}$ pour ne pas « trop » charger notre éventuelle source.

Enfin, un niveau de sortie de $5 \,\text{V}_{p-p}$ serait bienvenu pour pouvoir faire évoluer notre montage avec un futur étage d’amplification.
C’est une valeur cohérente qui pourra rassurer les adeptes du tout TTL !

Trêve de théorie : passons enfin au dimensionnement de notre petit écosystème !
Le cahier des charges retenu est donc le suivant :

• Alimentation : $V_+ = 12 \, \text{V}$
• Entrée : $V_{in} = 2,190 \, \text{V}_{p-p}$
• Fréquence d’entrée : $20 \sim 20000 \, \text{H}_z$
• Courant de repos : $I_C = 10 \, \text{mA}$
• Sortie : $V_{out} \approx 5 \, \text{V}_{p-p}$
• Potentiel d’émetteur : $V_E \approx 2 \, \text{V}$
• Impédance d’entrée visée : $5 \, \text{K\Omega} < Z_{in} < 10 \, \text{K\Omega}$

Notre potentiel d’émetteur est fixé, arbitrairement, à environ $2 \, \text{V}$ pour favoriser la linéarité et augmenter notre impédance d’entrée : les variations de courant en base ne doivent pas excéder notre courant de repos afin d’éviter l’écrêtage tant redouté !

Pour le choix des résistances, nous nous focaliserons sur la série E24.
Celle-ci dispose de suffisamment de valeurs pour corréler nos calculs.

Nous allons, tout d’abord, calculer le gain en tension souhaité de notre montage :

Nous pouvons calculer notre pont de sortie tant désiré en fonction de nos gains respectifs $\vert{A_v}\vert$ et $\beta$.

…

Mais : ATTENTION ! Achtung … Alarm …
Qu’y a-t-il encore, bon Dieu ?

Nous avions évoqué, précédemment, que le gain $\beta$ de notre composant était très disparate.
J’avais aussi glissé que celui-ci pouvait être estimé par une valeur consensuelle : le but étant de ne pas se perdre dans une croisade, ô combien pénible, pour trouver cette valeur mystique !

L’extrait du datasheet suivant devrait satisfaire notre soif de précision. Croyez-moi, ce genre de courbe est une rareté dans les documentations constructeur !
La force d’un composant ancestral, poncé jusqu’à la corde ? …

La première chose qui saute aux yeux est l’influence de la température sur notre gain en grand signal.
Ce gain DC est souvent estampillé « $H_{FE}$ » à la place de la lettre grecque habituelle.
Nous relèverons, pour notre étude, un gain $\beta$ de 200 pour une température de 25°C.
Cette valeur sera plus réaliste si l’on se réfère à cette courbe !

Place aux calculs avec notre valeur de gain connue :

Il nous incombe, à cette étape, d’approcher notre résistance d’émetteur à une valeur réelle afin de limiter la dérive de nos calculs suivants.
La valeur de $200 \,\Omega$ sied parfaitement au cas présent.

Maintenant, nous allons calculer tout le petit ménage « dynamique » qui règne dans notre transistor, en nous focalisant sur le gain en tension souhaité :

La pagaille thermique de notre protagoniste étant constatée, nous pouvons en déduire notre résistance de collecteur :

Nous voyons émerger, petit à petit, notre pont de sortie pour ceux qui doutent encore des capacités de votre hôte !
En série E24, on peut poser :

Enfin, notre potentiel de repos en sortie sera :

Voilà pour notre pont de sortie !
J’ai volontairement développé les calculs, pour ne pas laisser planer ce petit air de démonstration prémâchée, que nos outils modernes savent parfois offrir avec un peu trop de facilité !
Non, pitié … Je ne succomberai pas à l’étude « prête à porter », clés en main !
Je conçois que le feu d’artifice de scripts LaTeX, pour la mise en forme de l’outil mathématique, peut prêter aussi à confusion sur l’honnêteté du propos. Mais … Ce type de formalisme est inévitable pour la clarté de la réflexion au détriment d’une charge d’écriture éprouvante.
… Et, pour les pénibles, c’est simplement plus agréable à parcourir, non ? Avouez …

Nous allons pouvoir calculer notre pont d’entrée.
La valeur critique, pour dimensionner celui-ci, est le potentiel de base de notre 2N2222.

$V_B$ est régi par la physique interne de notre transistor, et par sa polarisation de repos en sortie.

À ce niveau, nos constantes connues sont :

Notre courant de base, avec toujours $\beta = 200$, est le suivant :

Nous allons calculer un potentiel en émetteur que je nommerai $V_{E’}$.
Pourquoi une telle pirouette, sachant que notre $V_E$ est déjà posé ?
L’idée est de dimensionner notre pont de sortie en fonction d’un gain et d’un courant de collecteur souhaité.
Dans la réalité, notre courant d’émetteur est légèrement supérieur à notre courant de collecteur.
De plus, notre résistance d’émetteur a été légèrement revue pour convenir au matériel disponible sur le marché.
$V_{E’}$ sera donc notre potentiel affiné pour fixer notre base :

Nous pouvons calculer, à ce stade, notre $V_{CE}$ pour intégrer l’effet Early à notre polarisation de base (… qui est en fait $V_{CE’}$, littéralement parlant).
Certains me diront que je pinaille, mais l’idée est d’anticiper à ras le corps notre simulation plutôt que de la fuir !

… Et enfin, le Graal ; notre $V_{BE}$ :

… Pour finir sur notre $V_B$ :

Notre potentiel de repos le plus important vient d’être défini.
Il nous faut, dès à présent, dimensionner notre pont d’entrée, pour respecter ce point de repos de base.
Ce pont peut être vu comme un générateur de Thévenin adapté à $I_B$ et $V_B$.

Un tel générateur s’incarne de la sorte dans notre montage :

Un tel concept d’équivalence peut paraître simple, mais il y a des subtilités à considérer pour faciliter nos calculs.
Notre impédance d’entrée doit être respectée ainsi que la « dureté » de notre pont d’alimentation : le courant dans celui-ci doit être au moins égal à dix fois notre courant consommé pour offrir une bonne stabilité.

L’impédance $Z_{base}$ vue en entrée de notre transistor sera la suivante (… et nous remarquerons l’intérêt de ne pas avoir de découplage en émetteur pour déterminer cette impédance !) :

À ce stade, nous pouvons nous focaliser sur notre impédance réelle, vue en entrée, hors Thévenin, pour ne pas faire d’erreur conceptuelle : le danger est de voir cette impédance $Z_{in}$ comme une vulgaire série de résistance ($R_{th}+Z_{base}$…).
En petit signal, les potentiels fixes sont vus comme des masses, ce qui nous permet d’écrire :

Nous pouvons fixer, arbitrairement, $Z_{in}$ à $7\,\text{K\Omega}$ pour contenter notre cahier des charges (…$5 \, \text{K\Omega} < Z_{in} < 10 \, \text{K\Omega}$) :

Notre modèle équivalent de Thévenin va enfin pouvoir nous être utile pour « sortir » notre valeur de pont.
En respectant cet outil mathématique, nous pouvons poser :

$R_{th}$ devient une formalité :

$E_{th}$ s’exprime ainsi :

… C’est aussi un simple diviseur de tension :

Pour isoler tout ce « petit monde », on peut poser :

… Et notre sainte $R_{th}$ à la rescousse (!) :

Nos résistances se précisent :

En série E24, nous pouvons choisir :

Nous pouvons vérifier notre impédance d’entrée avec ces nouvelles valeurs :

Il ne nous reste plus qu’à dimensionner nos capacités de couplage d’entrée / sortie.
La fréquence de coupure est, bien évidemment, le $20\,\text{H}_z$ empirique de tout signal audio qui se respecte !

En entrée :

Pour la sortie, nous poserons une résistance de sortie de $10\,\text{K\Omega}$ qui correspondrait à l’impédance éventuelle d’un étage suiveur …

Nous retiendrons ces valeurs confortables :

Eh bien, nous y sommes !
Je suis persuadé d’en avoir perdu en chemin …
Ce développement fastidieux, que certains jugeront scolaire, est indispensable pour s’approprier l’attirail nécessaire aux sentiers de l’analogique.
Votre hôte ne remettra pas une couche car je sens d’ici les pertes au combat.
Je sens aussi le nuage noir qui se dessine au-dessus de ma tête (!).
Donc, nous allons simplement récapituler toutes les valeurs calculées.
Nous noterons, aussi, les nouvelles variables qui découleront de l’approximation du choix des composants.
Je vous fais grâce de l’affinage de ces variables pour ne pas voir une audience convulser sous le LaTeX …

Nous avons pour ce montage :

• Alimentation : $V_+ = 12 \, \text{V}$
• Entrée : $V_{in} = 2,190 \, \text{V}_{p-p}$
• Fréquence d’entrée : $20 \sim 20000 \, \text{H}_z$
• Courant de repos : $I_C = 10 \, \text{mA}$
• Gain en tension : $A_v\approx{-2,28}$
• Potentiel de collecteur : $V_C \approx 7,1 \, \text{V}$
• Potentiel d’émetteur : $V_E \approx 2,01 \, \text{V}$
• Potentiel de base théorique : $V_B \approx 2,727 \, \text{V}$
• Potentiel de base corrigé avec série E24 : $V_{B’} \approx 2,76 \, \text{V}$
• Jonction de base : $V_{BE} \approx 0,717 \, \text{V}$
• Impédance d’entrée : $Z_{in} \approx{7,236\, \text{K\Omega}}$

Enfin, la délivrance !
Nous allons pouvoir valider ce petit exercice avec Micro-Cap 12.
Son verdict sera sans appel et tranchera sur le cognitif de votre hôte : est-ce que celui-ci grisonne autant que ses cheveux ?
Voyons, voyons …

Le schéma implanté dans le logiciel :

Notre signal source est simulé par un générateur AC de $1,095\,\text{V}$ crête à $20\,\text{Hz}$, repéré V2.

Le signal de sortie de ce générateur est le suivant :

Nous avons bien une période de $50\,\text{ms}$, soit $20\,\text{Hz}$.
La tension crête simulée est de $1,093\,\text{V}$.
Ce genre de divergence sera courant dans le logiciel, la faute, en partie, à sa résolution interne !

Regardons un peu ce qu’il se passe, en base de notre 2N2222, dans le nœud du pont d’entrée R1 / R2 :

Nous avons :

• $V_{B_{max}}= 3,798\,\text{V}$
• $V_{B_{min}}= 1,678\,\text{V}$

Nous pouvons calculer l’amplitude crête à crête de notre signal ainsi que le potentiel de base moyen (DC) :

Voyons voir au nœud du collecteur de notre transistor :

Nous avons :

• $V_{C_{max}}= 9,479\,\text{V}$
• $V_{C_{min}}= 4,616\,\text{V}$

Nous pouvons calculer l’amplitude crête à crête de notre signal ainsi que le potentiel de collecteur moyen (DC) :

… Pour la partie émetteur :

Nous avons :

• $V_{E_{max}}= 3,073\,\text{V}$
• $V_{E_{min}}= 0,991\,\text{V}$

Nous pouvons, encore une fois, calculer l’amplitude crête à crête du signal ainsi que le potentiel d’émetteur moyen (DC) :

Et enfin, le signal en sortie de couplage sur notre charge de $10\,\text{K\Omega}$ :

Nous avons :

• $V_{charge_{max}}= 2,278\,\text{V}$
• $V_{charge_{min}}= -2,319\,\text{V}$

Le signal en charge est purement alternatif (… même si le simulateur nous suggère un petit offset).
Notre amplitude est la suivante :

Pour ce qui est du transistor, nous avons ce relevé de simulation :

Nous avons :

• $I_B= 57,453\,\text{$\mu$A}$
• $I_C= 11,303\,\text{mA}$
• $\beta_{DC}= 196,726$
• $\beta_{AC}= 199,837$

Qu’allons-nous faire de tous ces résultats ?

Eh bien, force est de constater que la simulation vient plutôt bien chapeauter toute l’étude théorique.

On notera une différence de 13 % ($11,303\,\text{mA}$ contre $10\,\text{mA}$) au niveau de notre courant de collecteur.
Cette différence entraîne obligatoirement une dérive sur notre courant de base ($57,453\,\text{$\mu$A}$ contre $50\,\text{$\mu$A}$).
Notre gain $\beta$ est presque parfait !

Là où le bât blesse, c’est pour notre gain en tension $A_v$ !
Ce gain simulé est le suivant :

Le gain en tension souhaité était de $2,28$ ce qui nous fait une erreur de 8 %.

Voyez-vous cette capacité de sortie qui sent à plein nez le manque de motivation ?
La sentez-vous cette zone de $3dB$ que tout filtre de premier ordre impose ?
Gardons à l’esprit que notre simulation a été faite avec un signal source volontairement bas de $20\,\text{Hz}$.

Nous allons revoir notre couplage de sortie, avec une capacité de $10\,\text{$\mu$F}$, dans l’optique de sauver les meubles …

Voici les relevés avec notre couplage modifié :

Nous avons :

• $V_{charge_{max}}= 2,399\,\text{V}$
• $V_{charge_{min}}= -2,426\,\text{V}$

Notre nouvelle amplitude de sortie est :

Notre nouveaux gain en tension :

Nous avons réduit notre erreur à 3 % !

Le petit bémol, dans notre montage, est l’impédance d’entrée visée.
Une telle impédance est évidemment idéale pour des sources « faibles », mais au détriment d’un pont d’entrée légèrement flottant.
Nous pouvons constater cette limite avec le simulateur :

Ce rapport de courant est tout juste acceptable pour fixer notre point de repos en base, $V_B$ …

Nous remarquerons, quand même, que la simulation est un outil bien utile.
… utile, dans la mesure où les modèles renseignés en base de données doivent concorder avec la réalité.

Nous voici donc à la fin de ce petit exercice sans prétentions.
Des prétentions qui promettaient un voyage simple et agréable sur une mer endormie.
N’y a-t-il pas malentendu ?
Quelques frêles composants qui déchaînent la mer des mathématiques !
C’est, peut-être, toute l’âme de l’électronique : formaliser et appréhender toutes ces barques, porteuses de charges, dans des eaux douces ou au milieu de la tempête.

Nous pouvons, à présent, laisser reposer notre ancêtre à trois pattes : il l’a bien mérité.

Force à ce vétéran de nous avoir amené le son et probablement l’image.
Force à vous, chers curieux, d’avoir consacré un peu de votre temps à ce précieux oublié…

Documentation :

Datasheet ~ P2N2222A
Fichier ~ Circuit Micro-Cap 12